Анатолий Николаевич родился 28 октября 1949 года. Заслуженным мастером спорта СССР стал в 1975 году. Боксом начал заниматься у заслуженного тренера СССР Бориса Андреева, а продолжил под руководством заслуженного тренера СССР и Украины Михаила Завьялова. Выступал за ДСО «Авангард» (Жданов) с 1961 по 1973, с 1973 по 1982 за ЦСКА. Двукратный чемпион Европы (1973, 1975 гг.), чемпион СССР (1973 г.), бронзовый медалист чемпионата мира (1974 г.)

Анатолий Николаевич на внутреннем ринге страны выступал во 2-ом среднем весе, где в то время сконцентрировалось большое количество сильных бойцов – таких, как Вячеслав Лемешев, Руфат Рискиев, Юозас Юоцявичус. Поэтому на международной арене в интересах команды переходил в другие категории. Так в 1973 г. он выиграл чемпионат Европы в 1-ом среднем весе до 71 кг, а в 1975-ом – в полутяжелом до 81 кг. На Олимпиаде 1976 г. в Монреале на предварительной стадии Климанов уступил будущему победителю турнира Леону Спинксу из США, который впоследствии в профессионалах прославился победой над Мохаммедом Али.

Климанов окончил институт Физической Культуры. Работал тренером со сборной командой Украины. В 1989 году стал тренировать боксёров-профессионалов. В 1993 году работал по контракту с олимпийской сборной командой Югославии. С 1995 года тренировал боксёров-профи Киевской профессиональной ассоциации бокса и кикбоксинга TIKO.

Светлая память об Анатолии Николаевиче Климанове навсегда останется в наших сердцах.